일변수 함수의 적분을 중적분으로 바꾸어 푸는 예

By | March 3, 2017

보조정리. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 연속함수이고 \(x\)가 실수일 때 다음 등식이 성립한다.

\[\int_0^x f(u) (x-u) \, du = \int_0 ^x \int_0 ^u f(t) \, dt \, du .\]

증명. \(f\)의 한 부정적분을 \(F\)라고 하자. 그러면 부분적분법에 의하여 다음 등식이 성립한다. \[\int_0^x F(u) \, du = F(u)u \bigg{|} _0 ^x - \int_0^x f(u)u \, du = F(x)x - \int_0^x f(u)u \, du . \] 따라서 다음 식을 얻는다. \[\begin{eqnarray} \int_0^x \int_0^u f(t) \, dt \, du &=& \int_0^x F(u) -F(0) \,du \\[5pt] &=& \int_0^x F(u) \, du - xF(0) \\[5pt] &=& \left( F(x) x - \int_0^x f(u)u \, du \right) - xF(0) \\[5pt] &=& xF(x) - xF(0) - \int_0^x uf(u) \, du \\[5pt] &=& x \int_0^x f(u) \, du - \int_0^x uf(u) \,du \\[5pt] &=& \int_0^x xf(u) \, du - \int_0^x uf(u) \,du \\[5pt] &=& \int_0^x (x-u) f(u) \, du. \tag*{\(\blacksquare\)} \end{eqnarray}\]

정리. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 연속함수이고 \(x\)가 실수이며 \(n\)이 자연수일 때 다음 등식이 성립한다.

\[\int_0^x \frac{f(u)(x-u)^n}{n!} \, du = \int_0^x \int_0 ^{u_n} \cdots \int_0 ^{u_1} f(t) \, dt \, du_1 \cdots du_n . \tag{1} \]

증명. \(n=1\)인 경우는 증명하였으므로, 여기서는 \(n \ge 2\)인 경우를 증명하자.

\(g , \) \(h\)가 연속인 실함수일 때, 부분적분법에 의하여 다음 등식이 성립한다. \[\int_0^x g(u) \, h(u) \,du = \left[ g(u) \int h(t) \, dt \right] _{u=0}^{u=x} - \int_0^x \frac{d}{du}g(u) \left[ \int h(t) \, dt \right] \, du . \tag{2} \] 식 (2)에 \[g(u) := \frac{(x-u)^n}{n!} , \quad h(u) := f(u) \] 를 대입하면 다음 식을 얻는다. \[\begin{eqnarray}\int_0^x \frac{f(u)(x-u)^n}{n!} \, du &=& \left[ \left( \int_{0}^{u_1} f(t) \, dt \right) \frac{(x-u_1 )^n }{n!} \right] _{u_1 =0}^{u_1 =x} \\[5pt] &\,& + \int_0^x \frac{(x-u_1 )^{n-1}}{(n-1)!} \left[ \int_0 ^{u_1} f(t) \, dt \right] du_1 . \tag{3} \end{eqnarray}\] 위 등식 (3)의 우변의 첫 번째 항은 \(0\)이다. 그러므로 (3)은 다음과 같이 쓸 수 있다. \[\int_0^x \frac{f(u)(x-u)^n}{n!} \, du = \int_0^x \frac{(x-u_1 )^{n-1}}{(n-1)!} \left[ \int_0 ^{u_1} f(t) \, dt \right] du_1 . \tag{4} \] 부분적분법을 이용하여 (4)의 우변을 적분하자. 식 (2)에 \[g(u) := \frac{(x-u)^{n-1}}{(n-1)!} , \quad h(u) := \int_0^{u_1} f(t) \, dt \] 를 대입하면 다음 식을 얻는다. \[\begin{eqnarray} \int_0^x \frac{(x-u_1 )^{n-1}}{(n-1)!} \left[ \int_0^{u_1} f(t) \, dt \right] du_1 &=& \left[ \left( \int_0 ^{u_2} \left( \int_0 ^{u_1} f(t) \, dt \right) du_1 \right) \frac{(x-u_2 )^{n-1}}{(n-1)!} \right] _{u_2 =0}^{u_2 =x} \\[5pt] &\,& + \int_0^x \frac{(x-u_2)^{n-2}}{(n-2)!} \left( \int_0^{u_2} \left( \int_0^{u_1} f(t) \, dt \right) du_1 \right) du_2 . \tag{5} \end{eqnarray}\] 위 등식의 우변의 첫 번째 항은 \(0\)이므로 다음 식을 얻는다. \[ \int_0^x \frac{(x-u_1 )^{n-1}}{(n-1)!} \left[ \int_0^{u_1} f(t) \, dt \right] du_1 = \int_0^x \frac{(x-u_2)^{n-2}}{(n-2)!} \left( \int_0^{u_2} \left( \int_0^{u_1} f(t) \, dt \right) du_1 \right) du_2 . \tag{6} \] 다시 식 (2)에 \[g(u) :=\frac{(x-u)^{n-2}}{(n-2)!} ,\quad h(u) := \int_0^{u_2} \int_0 ^{u_1} f(t) \, dt \, du_1 \] 을 대입하면 다음 식을 얻는다. \[\int_0^x \frac{f(u)(x-u)^n}{n!} du = \int_0^x \frac{(x-u_3)^{n-3}}{(n-3)!} \int_0^{u_3} \int_0^{u_2} \int_0^{u_1} f(t) \, dt \, du_1 \, du_2 \, du_3 \tag{7} \] 이 과정을 \((n-3)\)번 반복하면 다음 식을 얻는다. \[\int_0^x \frac{f(u)(x-u)^n}{n!} du = \int_0^x \frac{(x-u_n)^0}{0!} \int_0^{u_n} \cdots \int_0^{u_3} \int_0^{u_2} \int_0^{u_1} f(t) \, dt \, du_1 \, du_2 \, du_3 \cdots du_n \tag{8} \] [물론 \(n\)에 대한 수학적 귀납법을 이용하면 이 과정을 더 엄밀하게 전개할 수 있다.] 여기서 \[\frac{(x-u_n )^0}{0!} = 1 \] 이므로 (8)은 정리의 등식 (1)과 같다.

References

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