\(e^{\pi}\)과 \(\pi^e\)의 크기 비교

By | July 20, 2017

실수계에서 덧셈과 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하기 때문에 더하는 순서나 곱하는 순서에 상관 없이 그 결과는 일정하다. 즉 임의의 실수 \(a , \) \(b\)에 대하여 \[a+b = b+a , \quad ab = ba\] 가 성립한다. 그러나 거듭제곱의 경우에는 교환법칙이 성립하지 않는다. 예컨대 \[2^3 \neq 3^2\] 이다. 위 식에서와 같이 \(a\)와 \(b\)가 정수인 경우에는 \(a^b\)와 \(b^a\)의 크기를 비교하는 것이 크게 어렵지 않다. 그러나 \(a\)와 \(b\)가 모두 무리수인 경우에는 \(a^b\)와 \(b^a\)의 크기를 비교하는 것이 다소 까다로울 수도 있다.

여기서는 \(e^{\pi}\)와 \(\pi^{e}\)의 크기를 비교해 보자. 자연로그함수는 증가함수이므로 \(e^{\pi}\)와 \(\pi^{e}\)의 크기를 비교하는 대신 다음 두 수의 크기를 비교하면 된다. \[\ln e^{\pi} , \quad \ln \pi ^e \] 로그함수의 성질에 의하여 위 두 수는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[\pi \ln e , \quad e \ln \pi \] 더욱이 \(e\)와 \(\pi\)가 모두 양수이므로 위 두 수의 크기를 비교하는 것은 다음 두 수의 크기를 비교하는 것과 같다. \[\frac{\ln e}{e} , \quad \frac{\ln \pi}{\pi} \tag{1}\] 이제 양의 실수 \(x\)에 대하여 정의된 다음과 같은 함수를 생각하자. \[f(x) = \frac{\ln x}{x} \tag{2}\] 이 함수의 증감을 조사한 뒤 \(x = e,\) \(x = \pi\)를 대입하면 크기를 비교할 수 있다. 이 함수의 도함수를 구하면 \[f ' (x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}\] 이므로 이 함수는 \(0 < x < e\)인 범위에서 증가하며 \(x > e\)인 범위에서 감소한다. 즉 이 함수의 그래프는 다음과 같다.

따라서 \(f(x)\)는 \(e\)에서 최댓값을 가진다. 그런데 \(e < \pi\)이므로 \(f(e) > f(\pi )\)이다. 즉 \[\frac{\ln e}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi}\] 이므로 다음과 같은 결론을 얻는다.

\[e^{\pi} > \pi ^e \tag{3}\]

이 결론을 확장해보자. 함수 \(f\)는 \(e\)에서 최댓값을 가지므로 \(a > 1 ,\) \(a \neq e\)일 때 \(f(e) > f(a)\)이다. 그러므로 다음을 얻는다.

\(a > 1 ,\) \(a \neq e\)일 때 \(e^a > a^e\)이다.

한편 \(f(x)\)가 \(0 < x < e\)인 범위에서 증가하며 \(x > e\)인 범위에서 감소한다는 사실을 이용하면 다음을 얻는다.

정리 1. 실수 \(a,\) \(b\)에 대하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) \(1 < a < b \le e\)일 때 \(a^b < b^a\)이다.

(ⅱ) \(e \le a < b\)일 때 \(a^b > b^a\)이다.

그러나 \(1 < a < e < b\)인 경우에는 \(a^b\)의 크기와 \(b^a\)의 크기를 쉽게 비교할 수 없다. 대신 \(y = f(x)\)의 그래프를 관찰함으로써 다음을 얻는다.

정리 2. \(a^b = b^a\)를 만족시키는 서로 다른 양수 \(a,\) \(b\)는 무수히 많다. 단 이 경우 둘 중 하나는 \(e\)보다 크고 다른 하나는 \(1\)과 \(e\) 사이에 있다.

Leave a Reply