Category Archives: Mathematics

명제논리의 구문과 의미

명제논리(propositional logic)란 간단히 말하면 명제변수와 기본 결합자(부정, 명제합, 명제곱, 함의), 그리고 몇 가지 공리와 추론규칙으로 이루어진 논리계를 뜻한다. 명제논리에서는 한정기호를 사용하지 않으므로 명제논리에서 다룰 수 있는 내용이 그렇게 다양한 것은 아니다. 그러나 추론 정리, 완전성 정리, 건전성 정리 등 더 복잡한 논리계를 다룰 때 기본적으로 만나는 정리들을 명제논리에서도 만나게 되므로, 명제논리는 수리논리를 공부하기 위해 기본으로 거쳐야 할 관문이다.… Read More »

형식논리

형식논리에서는 문자열 또는 주어진 문자들의 유한열에 대하여 다룬다. 여기서 문자열은 그 자체로서는 어떠한 의미도 갖지 않는다. '공리', '추론규칙', '정리', '증명' 등의 용어를 사용하지만 이러한 용어는 일반적인 수학적 의미와는 독립적으로 사용된다. '정리'가 '증명'될 수 있다는 사실이 우리가 실제로 다루는 수학의 체계에서 어떠한 역할을 하는지는 뒤에서 밝혀질 것이다. 형식계의 의미 형식계(formal system)는 다음 네 가지로 구성된 체계이다. 알파벳 \(A\) :… Read More »

(f(x) + f'(x)) → A 이면 f(x) → A 이다.

G. H. Hardy 교수님의 책 『A Course of Pure Mathematics』 6장 Derivatives and Integrals 마지막 절 Miscellaneous Examples에는 다음과 같은 문제가 실려 있다(36번). If \(\phi(x) + \phi ' (x) \to a \) as \(x \to \infty\), then \(\phi (x) \to a \). 이 문제를 흔히 Hardy의 문제(Hardy's old problem)라고 부른다. 여기서는 Hardy의 문제의 해설을 살펴보자. Hardy의 문제를 정확하게… Read More »

실수 집합이 비가산임을 증명하는 두 가지 방법

\(E\)가 집합이고 \(E\)로부터 \(\mathbb{N}\)에로의 일대일 함수가 존재할 때 \(E\)를 가산집합(countable set)이라고 부른다. 또한 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합(uncountable set)이라고 부른다. 즉 임의의 집합은 원소의 개수에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다. 유한집합무한인 가산집합(가부번집합)비가산집합 (물론 비가산집합은 집합의 기수(cardinality)에 따라 여러 가지로 구분할 수 있지만 여기서 논하는 바는 아니다.) 자연수 집합 \(\mathbb{N},\) 정수 집합 \(\mathbb{Z},\) 유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)는 모두 가산집합이다. 그러나… Read More »

유리수의 조밀성과 무리수의 조밀성

서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 유리수가 존재한다. 이 성질을 유리수의 조밀성이라고 부른다. [사실 '유리수계의 조밀성' 또는 '유리수 집합의 조밀성'이라고 표현해야 정확하지만 관용적으로 '유리수의 조밀성'이라고 표현한다.] 조밀성은 원래 위상공간에서 정의된다. \((X,~\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(E \subseteq X\)라고 하자. 만약 \(X \subseteq \overline{E}\)가 성립하면 '\(E\)는 \(X\)에서 조밀하다'라고 말한다. [여기서 \(\overline{E}\)는 \(E\)의 폐포(closure)를 나타낸다.] 서로 다른 두 실수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는… Read More »

(p → p)의 증명

초등 논리에서는 \( (p \to p) \)를 자명한 것으로 받아들이고 사용한다. 그러나 엄밀히 따지면 \( (p \to p) \)도 증명해야 한다. 여기서는 수리논리의 규칙에 따라 \( (p \to p) \)를 증명하는 과정을 간단히 살펴보자. 먼저 논리식을 정의한다. 논리식(formula)이란 다음 두 가지 규칙을 사용하여 얻어지는 것이다. 명제변수(propositional variable)는 논리식이다. \(p\)가 논리식이면 \( ( \sim p )\)도 논리식이다. \(p\)와 \(q\)가… Read More »

첨수집합이 공집합인 첨수족의 합집합과 교집합

\(\mathcal{U}\)가 전체집합이고 \(\mathcal{A} = \left\{ A_i ~|~ i \in I \right\}\)가 \(\mathcal{U}\)의 부분집합들로 이루어진 첨수족이라고 하자. 이때 \(\mathcal{A}\)의 합집합과 교집합을 각각 다음과 같이 정의한다. \[\bigcup_{i\in I} A_i ~:=~ \left\{ x \in \mathcal{U} ~~|~~ \exists i \in I ~:~ x\in A_i \right\},\] \[\bigcap_{i\in I} A_i ~:=~ \left\{ x \in \mathcal{U} ~~|~~ \forall i \in I ~:~ x\in A_i \right\}.\]… Read More »

집합론 핵심 내용 정리

이 문서는 수학 전공자가 학부 과정에서 필수로 알아야 할 내용을 간추린 것입니다. 이 문서에는 요약된 내용만 있고 자세한 설명이나 증명이 나와 있지 않으므로, 더 자세한 내용이나 증명을 알고자 하는 경우에는 문서 끝에 언급된 집합론 교재를 참고하기 바랍니다. 들어가며 오늘날 수학을 공부하는 데에 있어 집합론은 필수이다. 수학의 거의 모든 내용이 집합과 명제로 표현되기 때문이다. 이것은 19세기 말부터 20세기 초까지… Read More »

슈뢰더-베른슈타인 정리

유한집합의 경우 두 집합의 크기를 비교할 때에는 원소의 개수를 세어 비교하면 된다. 그러나 무한집합의 경우 원소의 개수를 끝까지 셀 수 없으므로 다른 방법으로 두 집합의 크기를 비교한다. 두 집합 \(X,\) \(Y\)에 대하여 일대일 대응 \(f : X \to Y \)가 존재할 때 \(X\)와 \(Y\)는 대등하다(equipotent) 또는 동등하다고 말하고, 이것을 기호로는 \(X \approx Y\)로 나타낸다. 책에 따라서는 두 집합… Read More »

직사각형의 넓이 공식 유도

직사각형의 넓이 공식 유도 A Derivation of the Formula for the Area of a Rectangle Blue-Haired Annebluehairedanne.com 초등학교 과정에서는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이를 1인 것으로 여기고, 그러한 정사각형을 여러 개 쌓아 직사각형을 만드는 과정을 통해 가로의 길이와 세로의 길이가 자연수인 직사각형의 넓이를 구한다. 이때부터 직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이를 곱한 것으로 여기게 된다. 이러한 공식은… Read More »