Category Archives: Mathematics

수학 과목별 주요 내용

우리 나라의 초, 중등 교육과정은 국가 수준에서 정한다. 그러나 대학의 교육과정은 대학에서 자체적으로 정하기 때문에 같은 이름의 과목이라도 배우는 내용이나 사용하는 교재가 학교마다 다르다. 따라서 대학에서 수학을 전공하거나 또는 취미로 수학을 공부하는 사람의 입장에서는 공부를 하면서도 스스로 어디 쯤 가고 있는지에 대해 궁금해지기 마련이다. 이 글은 수학을 공부하는 사람들에게 나아가야 할 개략적인 방향을 알려주기 위한 글이다. 필자의 경험을… Read More »

수학을 공부하는 사람들을 위한 팁

이 글의 제목은 원래 '수학을 취미로 공부하는 사람들을 위한 팁'이었다. 그러나 글의 내용이 수학을 공부하는 대부분의 사람들에게 해당하는 것이므로 제목을 '수학을 공부하는 사람들을 위한 팁'으로 바꾸었다. 수학을 공부한다는 것은 쉬운 일이 아니다. 특히 수학 전공자가 아닌 경우는 더욱 그렇다. 그것은 노 젓는 법을 모른 채 안개가 가득한 호수 한가운데에 떠 있는 작은 배에 올라 앉는 것과 같다. 그… Read More »

Principles of Mathematical Analysis Solution

Walter Rudin 교수님의 책 Principles of Mathematical Analysis (일명 PMA) 연습문제 풀이(솔루션)이다. 문제와 풀이가 모두 있으므로 PMA 없이 이 파일만 봐도 좋다. 00 - Table of Contents 01 - The Real and Complex Number Systems 02 - Basic Topology 03 - Numerical Sequences and Series 04 - Continuity 05 - Differentiation 06 - The Riemann-Stieltjes Integral 07 -… Read More »

p-노름과 상한 노름의 관계

유클리드 공간 \(\mathbb{R} ^n\)이 전체공간이라고 하자. \(B\)가 체적이 양수인 닫힌 상자이고 \(f\)가 \(B\)에서 정의된 연속인 실함수라고 하자. (여기서 \(B\)가 닫힌 상자라는 것은 닫힌구간들의 카르테시안 곱으로 나타난다는 의미이다.) 이때 \(B\)에서 \(f\)의 \(p\)-노름과 상한 노름을 다음과 같이 정의한다. (단, \(p \ge 1 \)) \[ \Vert f \Vert _p ~:=~ \left(\int_B |f( \mathrm{x} )|^p ~ d\mathrm{x} \right)^{1/p} \] \[ \Vert f… Read More »

고등학교 수학 요약노트

고등학교 수학 요약노트 Lecture Notes on Highschool Mathematics Basic Theories, Formulas and Solved Problems 다운로드 : Highschool_Mathematics.pdf 만든 사람 : Blue-Haired Anne, http://bluehairedanne.com 이 노트는 중학교와 고등학교 과정에서 배우는 수학 내용을 담고 있습니다. 수와 식, 함수와 수열, 미분과 적분, 평면도형과 공간도형, 확률과 통계의 내용을 주제별로 간단하게 정리하고 예제를 실었습니다. 중학교와 고등학교에서 사용되는 교과서를 참고하여 작성하였습니다. 이 노트는 고등학교… Read More »

평등수렴하는 함수열의 합성함수열은 평등수렴할까?

평등수렴하는 함수열의 합성함수열은 평등수렴할까? 즉 \(\left\{ f_n \right\},\) \(\left\{ g_n \right\}\)이 각각 평등수렴할 때 합성함수열 \(\left\{ f_n \circ g_n \right\} \)은 평등수렴할까? 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어 \[ f_n (x) = \begin{cases} 1~~ &\mbox{if} ~~ x \in \mathbb{Q} \\ \\ 0~~ &\mbox{if} ~~ x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} \]그리고\[g_n (x) = \frac{\pi + (-1)^n \pi}{n}\]라고 하면 명백히… Read More »

무한급수를 활용하여 적분을 계산하는 예

다음 적분의 값을 구해보자. 위 특이적분이 수렴한다는 사실은 쉽게 증명된다. 위 적분을 변형하면 다음과 같다. 여기서 마지막 두 특이적분이 수렴한다는 사실도 쉽게 증명된다. 따라서 위 등식이 성립함이 보장된다. 이제 다음과 같은 자연로그의 거듭제곱급수표현을 이용하여 문제의 적분을 계산하자. 먼저 A를 계산하면 다음과 같다. 다음으로 B를 계산하면 다음과 같다. (참고로 A, B의 값을 계산하는 과정에서 거듭제곱급수의 평등수렴에 관한 Abel의 정리를… Read More »