Category Archives: Mathematics

함수해석학의 기본 정리

함수해석학에서 중요한 정리로는 다음과 같은 것들을 꼽을 수 있다. Hahn-Banach의 정리 열린 사상 정리 균등유계 원리 닫힌 치역 정리 스펙트럼 정리 이 중에서 Hahn-Banach의 정리는 이미 살펴보았으므로(관련 글) 여기서는 열린 사상 정리, 균등유계 원리, 닫힌 치역 정리를 살펴보자. 스펙트럼 정리는 뒤에서 별도의 주제로 다룬다. Baire의 범주 정리 먼저 Baire의 범주 정리를 살펴보자. 범주 정리는 해석학의 다양한 분야에서 보조정리로… Read More »

쌍대공간

정의역이 벡터공간이고 공역이 체인 함수를 범함수(functional)라고 부른다. 또한 정의역이 노름선형공간 \(X\)인 범함수들의 모임 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르며 \(X^*\)로 나타낸다. \(X\)의 쌍대공간의 쌍대공간을 제 2 쌍대공간이라고 부르며 \(X^{**}\)로 나타낸다. \(X\)와 \(Y\)가 노름선형공간이고 \(T\)가 \(X\)로부터 \(Y\)로의 함수라고 하자. 이때 임의의 \(f \in Y^*\)와 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[T^* f(x) := f(Tx) \] 로 대응시키는 함수 \(T^* : Y^* \,\to\,… Read More »

선형작용소와 선형범함수

정의역과 공역이 노름선형공간인 함수를 작용소(operator)라고 부른다. 작용소 \(f : X \,\to\,Y\)가 단위구 \[B_1 (0) := \left\{x\in X \,\vert\, \lVert x \rVert < 1 \right\}\] 에서 유계일 때 \(f\)를 유계작용소(bounded operator)라고 부른다. 노름선형공간 \(X\)로부터 \(Y\)로의 유계선형작용소들의 모임을 \(B ( X,\,Y )\)로 표기한다. 유계성의 정의에 의하여 선형작용소 \(f\)가 유계일 필요충분조건은 양수 \(c\)가 존재하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[\lVert f(x) \rVert… Read More »

Hilbert 공간의 기본 성질

Hilbert 공간의 중요한 성질 중 하나는 \(K\)가 닫힌볼록집합이고 \(x\)가 \(K\) 밖의 점일 때, \(x\)와 가장 가까운 \(K\)의 점이 존재한다는 것이다. 정리 1. (사영 정리) \(X\)가 Hilbert 공간이고 \(K\)가 \(X\)의 닫힌 볼록부분집합이며 \(x\in X\)라고 하자. 그러면 \[\left\lVert x- \overline{x} \right\rVert = \inf_{y\in K} \lVert x-y \rVert \] 를 만족시키는 \(\overline{x} \in K\)가 유일하게 존재한다. 증명. 일반성을 잃지 않고 \(x=0\)이라고… Read More »

부분공간과 상공간

함수해석학에서 주로 다루는 공간은 벡터공간이므로 부분공간과 상공간 또한 함수해석학에서 빼놓을 수 없는 중요한 주제이다. \(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간일 때 상공간 \(X/S\)는 잉여류들의 모임이다. \(X\)가 노름공간이면 \(X/S\)에서의 반노름을 \[\lVert u \rVert _ {X/S} := \inf_{x \in u} \lVert x \rVert_X \] 또는 동등조건으로서 \[\lVert \overline{x} \rVert _{X/S} := \inf _{s\in S} \lVert x-s \rVert _X \] 로 정의한다.… Read More »

내적공간과 노름공간

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 따라서 내적공간과 노름공간의 개념은 함수해석학을 공부하는 데에 필수적인 기초 내용이다. 정의 1. \(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(p : X \to [ 0,\, \infty ) \)가 두 조건 (1) \((\forall x \in X)(\forall y \in X)\)\((p(x+y) \le p(x) + p(y))\) (2) \((\forall x \in X)(\forall… Read More »

일변수 함수의 적분을 중적분으로 바꾸어 푸는 예

보조정리. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 연속함수이고 \(x\)가 실수일 때 다음 등식이 성립한다. \[\int_0^x f(u) (x-u) \, du = \int_0 ^x \int_0 ^u f(t) \, dt \, du .\] 증명. \(f\)의 한 부정적분을 \(F\)라고 하자. 그러면 부분적분법에 의하여 다음 등식이 성립한다. \[\int_0^x F(u) \, du = F(u)u \bigg{|} _0 ^x - \int_0^x f(u)u \, du = F(x)x -… Read More »

2017학년도 중등수학교사 임용고사 해석학 문제 풀이

2016년 12월 3일 실시된 2017학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험 1차 전공 A와 전공 B 문제 중 미적분학, 해석학, 위상수학과 관련된 문제의 풀이입니다. 2017학년도 중등수학교사 임용고사 1차 전공 A 기출문제(pdf) 2017학년도 중등수학교사 임용고사 1차 전공 B 기출문제(pdf) 이 글에서 풀이를 실은 문제는 다음과 같습니다. A형 : 4번, 5번, 6번, 11번, 12번. B형 : 4번, 7번. A-4. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \[D… Read More »

명제논리와 Bool 대수

19세기는 수학이 극도로 추상화되고 정제되는 시점이었다. Hilbert는 Euclid의 기하학 공리를 개선하여 새로운 기하학의 공리를 만들었으며, 그 공리들로부터 Descartes의 좌표를 이용한 Euclid 평면 \(\mathbb{R} ^2\)가 만들어질 수 있음을 보였다. Dyck과 Cayley는 기존의 군(group)의 개념을 정제하여 공리적으로 군을 정의하였다. 이 시기에 George Bool은 사고의 법칙을 정제하여 대수적 공리로 변환하고자 노력하였다. 즉 Bool은 논리와 대수의 공통점과 차이점을 비교하고 그들을 통합할 방법을… Read More »

명제논리의 건전성, 완전성, 긴밀성

명제논리에 대하여 논할 때는 두 가지 관점에서 논하게 된다. 하나는 구문론적 관점이며 다른 하나는 의미론적 관점이다. 구문론에서는 문자열의 의미는 따지지 않고 오직 기호 사이의 형식적 관계에만 관심을 가진다. 반면 의미론에서는 논리변수의 진릿값 배정에 따른 논리식의 진릿값과 논리식 사이의 논리적 귀결에 대해 관심을 가진다. 이들 두 관점은 완전히 서로 다른 것처럼 보이지만, 사실은 밀접한 연관을 가지고 있다. 즉 가정이… Read More »