Category Archives: Mathematics

Chatting Functions

The functions are sitting in a bar, chatting (how fast they go to zero at infinity etc.). Suddenly, one cries "Beware! Derivation is coming!" All immediately hide themselves under the tables, only the exponential sits calmly on the chair. The derivation comes in, sees a function and says "Hey, you don't fear me?" "No, I am e to… Read More »

도함수가 자기 자신과 같은 함수

지수함수 \(y = e^x\)의 도함수를 구하면 \(y ' =e^x\)으로서 도함수가 자기 자신과 같다. 그렇다면 도함수가 자기 자신과 같은 함수는 이 외에 어떤 것이 있을까? \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 임의의 실수에 대하여 미분 가능하고 \[f ' (x) = f(x) \tag{1}\] 를 만족시키는 함수라고 하자. 이 식의 양변에 \(e^{-x}\)을 곱하고 우변을 좌변으로 이항하면 다음을 얻는다. \[e^{-x} f ' (x)… Read More »

\(e^{\pi}\)과 \(\pi^e\)의 크기 비교

실수계에서 덧셈과 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하기 때문에 더하는 순서나 곱하는 순서에 상관 없이 그 결과는 일정하다. 즉 임의의 실수 \(a , \) \(b\)에 대하여 \[a+b = b+a , \quad ab = ba\] 가 성립한다. 그러나 거듭제곱의 경우에는 교환법칙이 성립하지 않는다. 예컨대 \[2^3 \neq 3^2\] 이다. 위 식에서와 같이 \(a\)와 \(b\)가 정수인 경우에는 \(a^b\)와 \(b^a\)의 크기를 비교하는 것이 크게… Read More »

함수해석학 요약노트

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 이 노트는 기초해석학, 다변수해석학, 복소해석학, 측도론, 선형대수학, 추상대수학, 위상수학의 내용에 이어지는 것으로서 함수해석학의 기본적인 내용을 간략히 다룬다. 내적공간과 노름공간 부분공간과 상공간 Hilbert 공간의 기본 성질 선형작용소와 선형범함수 쌍대공간 함수해석학의 기본 정리 약위상 범약위상 긴밀작용소 자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼 일반적인 긴밀작용소의 스펙트럼 Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해 Hilbert 공간에서의 스펙트럼… Read More »

Hilbert 공간에서의 스펙트럼

이 글에서는 Hilbert 공간에서의 자기수반 작용소의 스펙트럼에 대하여 살펴보자. 먼저 자기수반 작용소가 실스펙트럼을 가짐을 보이자. 보조정리 1. \(H\)가 Hilbert 공간이고 \(T \in B(H)\)가 자기수반 작용소이면 \(\sigma (T) \subseteq \mathbb{R}\)이다. 증명. \(\lvert \langle ( \lambda 1-T) x,\,x \rangle \rvert \ge \lvert \mathrm{Im} \langle ( \lambda 1-T )x ,\,x \rangle \rvert = \lvert \mathrm{Im} \lambda \rvert \lVert x \rVert ^2… Read More »

Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해

\(X\)가 항등원 \(1\)을 가진 Banach 대수라고 하자. \(X\)에서의 노름이 정규화되었다고 하자. 즉 \(\lVert 1 \rVert = 1\)이라고 하자. 이제 \(X\)에서의 스펙트럼과 분해를 살펴볼 것이다. 이 글을 읽는 동안 다음 두 공간을 염두에 두면 이해하기 쉬울 것이다. 공간 \(B(X)\). 여기서 \(X\)는 Banach 공간이다. 상한노름이 주어진 \(C(G)\). 여기서 \(G\)는 긴밀위상공간이고 곱은 함수의 점별곱으로 정의되며 \(1\)은 상수함수를 나타낸다. 이 공간들에 대하여… Read More »

일반적인 긴밀작용소의 스펙트럼

이 글에서는 복소 Banach 공간 \(X\) 위에서의 긴밀작용소의 스펙트럼의 구조에 대하여 살펴본다. 복소 Banach 공간 위에서의 임의의 작용소 \(T\)에 대하여 \(T\)의 분해집합(resolvent set) \(\rho (T)\)는 \(T - \lambda 1\)이 가역인 \(\lambda \in \mathbb{C}\)들로 이루어져 있으며 스펙트럼 \(\sigma (T)\)는 그 여공간이다. 만약 \(\lambda \in \sigma (T)\)이면 \(T - \lambda 1\)이 가역이 아닌 경우가 몇 가지 존재한다. \(N(T-\lambda 1) \neq… Read More »

자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼

이 글에서 \(X\)는 완비인 Hilbert 공간을 나타내는 것으로 약속한다. \(T : X \to X\)가 유계선형범함수이면 \(X\)와 \(X^*\) 사이의 Riesz 동형성을 통해 \(T^*\)를 \(X\)로부터 \(X\)로의 사상으로 여길 수 있다. 즉 \(T^*\)가 \[\langle T^* x ,\,y \rangle = \langle x ,\, Ty \rangle\] 로 정의된 것으로 생각할 수 있다. 유한 차원 복소 Hilbert 공간의 경우 \(T\)는 복소사각행렬로 표현될 수 있으며… Read More »

긴밀작용소

이 포스팅에서는 Hilbert-Schimidt 작용소와 긴밀작용소를 살펴본다. 보조정리 1. \(\left\{ e_i \right\}\)와 \(\left\{ \overline{e_i} \right\}\)가 각각 가분 Hilbert 공간 \(X\)의 정규직교벡터이고 \(T\in B(X)\)일 때 \[\sum_{i,j} \lvert \langle Te_i ,\, e_j \rangle \rvert ^2 = \sum_{i,j} \lvert \langle T \overline{e_i} ,\, \overline{e_j} \rangle \rvert ^2 \] 이 성립한다. 증명. 임의의 \(w\in X\)에 대하여 \[\sum_{j} \lvert \langle w,\, e_j \rangle \rvert… Read More »

범약위상

\(X\)가 위상벡터공간이라고 하자. \(X\)의 위상을 이용하여 쌍대공간 \(X^*\) 위에 두 가지 위상을 정의할 수 있다. 먼저 \(X^{**}\)에 속한 범함수들이 모두 연속이 되도록 하는 위상 중 가장 작은 위상을 정의할 수 있는데, 이러한 위상을 약위상이라고 부른다. 또 \(x\in X\)에 대하여 정의된 반노름 \(f \,\mapsto\, f(x)\)에 의하여 얻어지는 위상을 부여할 수도 있는데, 이러한 위상을 범약위상이라고 부른다. \(X\)가 반사적 공간인 경우… Read More »