일계논리의 의미론

일계논리의 구문론을 소개하면서 일계논리에서 사용하는 기호에 'not', 'if and only if', 'for all'과 같은 이름을 붙였다. 이것은 구문론에서 비록 의미를 부여하지 않은 기호의 나열을 논하지만, 실은 그러한 기호로 이루어진 문장이 어떠한 의미를 갖는지를 방법을 암시한 것이다. 이 글에서는 그러한 방법을 명확하게 밝힌 의미론(semantics)을 살펴본다. \(\mathcal{L}\)이 일계논리언어라고 하자. \(\mathcal{L}\)은 그것이 가지고 있는 관계기호, 함수기호, 상수기호에 의하여 완전히 결정된다. 그… Read More »

일계논리의 구문론

수학에서 '일계논리'를 적용하여 설명할 수 있는 분야는 여러 가지가 있다. 그리고 각각의 분야는 그 분야 고유의 일계논리언어를 가진다. 수학에서 다루는 많은 공간은 집합과 그 집합에서 정의된 함수 또는 관계, 그리고 특정한 원소들로 기술된다. 이러한 기술 방법을 살펴보기 위해 몇 가지 개념을 정의한다. \(X\)가 집합일 때, \(X^n\)으로부터 \(X\)로의 함수를 \(n\)항연산 또는 \(n\)항함수라고 부르며, \(X^n\)의 부분집합을 \(n\)항관계라고 부른다. 특히 \(n=1\)인… Read More »

Christina’s World

크리스티나. 그는 멀리 떨어진 집을 향하고 있지만 실제로 그의 시선이 어디를 향해 있는지, 그가 어디로 가고자 하는지, 어떤 생각을 하고 있는지는 알 길이 없다. 비틀어진 몸과 앙상한 팔, 헝클어진 머리, 황량한 벌판. 지나치게 사실적이면서도 지나치게 비현실적인 이 그림에서 나는 나를 보았고, 당신을 보았다. 익숙한 것들로 가득하지만 익숙하지 않은 공간. 손에 잡힐 듯이 가까워 보이지만 결코 닿을 수 없는… Read More »

Chatting Functions

The functions are sitting in a bar, chatting (how fast they go to zero at infinity etc.). Suddenly, one cries "Beware! Derivation is coming!" All immediately hide themselves under the tables, only the exponential sits calmly on the chair. The derivation comes in, sees a function and says "Hey, you don't fear me?" "No, I am e to… Read More »

도함수가 자기 자신과 같은 함수

지수함수 \(y = e^x\)의 도함수를 구하면 \(y ' =e^x\)으로서 도함수가 자기 자신과 같다. 그렇다면 도함수가 자기 자신과 같은 함수는 이 외에 어떤 것이 있을까? \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 임의의 실수에 대하여 미분 가능하고 \[f ' (x) = f(x) \tag{1}\] 를 만족시키는 함수라고 하자. 이 식의 양변에 \(e^{-x}\)을 곱하고 우변을 좌변으로 이항하면 다음을 얻는다. \[e^{-x} f ' (x)… Read More »

\(e^{\pi}\)과 \(\pi^e\)의 크기 비교

실수계에서 덧셈과 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하기 때문에 더하는 순서나 곱하는 순서에 상관 없이 그 결과는 일정하다. 즉 임의의 실수 \(a , \) \(b\)에 대하여 \[a+b = b+a , \quad ab = ba\] 가 성립한다. 그러나 거듭제곱의 경우에는 교환법칙이 성립하지 않는다. 예컨대 \[2^3 \neq 3^2\] 이다. 위 식에서와 같이 \(a\)와 \(b\)가 정수인 경우에는 \(a^b\)와 \(b^a\)의 크기를 비교하는 것이 크게… Read More »

비 내리는 소리

비 내리는 소리 손에 잡힐 듯한 소리 빗방울 다가오는 소리 빗줄기가 하늘에서 땅까지 이어져 있다면 장마철 빗줄기를 몇 웅큼 썰어다가 빗방울 옷을 지어야겠다 빗줄기가 씨실 날실이 되어 부끄러움을 감추고 치마 끝에는 동그란 빗방울이 반짝반짝 달리겠다 빗방울 옷을 입고 동네를 한 바퀴 돌면 무지개가 뜨겠지? 땀방울 모자 쓰고 있던 어머니 얼굴에 미소가 뜨겠지? 비 그치는 소리 빗방울 멀어지는 소리… Read More »

MONDO GROSSO – ラビリンス

고개 돌리지 말아줘 슬퍼지는 쪽으로 눈을 감고 입을 맞춰줘 달콤하게 녹아내리는 멜로디 끌려 들어가 미궁 같은 파라다이스 출구도 모른 채 끝도 모른 채 안겨 있고 싶어 방해하지 마 한밤중의 파라다이스 숨도 쉬지 않고 빨려 들어가는 둘만의 댄스 찾지 말아줘 아름다운 미궁에서 입을 맞추면 돌아갈 수 없는 둘만의 댄스 깊이 헤매며 대낮 같은 백야처럼 감각을 잃은 채 어느 쪽도… Read More »

워드프레스에서 수식을 삽입하기 위한 코드

워드프레스에 수식을 삽입하는 방법은 여러 가지가 있으나 가장 권장하는 방법은 MathJax를 이용하는 것이다. MathJax는 HTML 문서에서 TeX 문법에 따라 수식을 손쉽게 입력할 수 있도록 해주는 스크립트이다. 자바스크립트이므로 서버에 CGI를 설치하는 부담 없이 블로그에 적용할 수 있다. (MathJax 공식 홈페이지) 수학이나 물리학을 주제로 블로그를 운영하는 사람들에게 도움이 되기를 바라며 이 블로그에서 사용하는 MathJax 삽입 코드와 스타일시트 코드를 공개한다. 테마… Read More »