직사각형의 넓이 공식 유도

By | December 28, 2015

직사각형의 넓이 공식 유도

A Derivation of the Formula for the Area of a Rectangle

Blue-Haired Anne
bluehairedanne.com

초등학교 과정에서는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이를 1인 것으로 여기고, 그러한 정사각형을 여러 개 쌓아 직사각형을 만드는 과정을 통해 가로의 길이와 세로의 길이가 자연수인 직사각형의 넓이를 구한다. 이때부터 직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이를 곱한 것으로 여기게 된다.

이러한 공식은 학년이 올라감에 따라 증명 없이 자연스럽게 가로의 길이와 세로의 길이가 양의 실수인 경우로 확장하여 사용한다. 그러나 엄밀히 말하면 이러한 직사각형의 넓이를 구하는 공식도 증명을 해야 한다.

고등학교 과정을 공부한 사람이라면 자연스럽게 적분을 이용하여 직사각형의 넓이를 구하는 공식을 유도할 수 있다고 생각할 수 있지만 적분의 개념 자체가 직사각형의 넓이를 이용한 것이므로 이러한 발상은 옳지 않다.

여기서는 넓이에 관한 기본적인 약속과 규칙을 이용하여 직사각형의 넓이를 구하는 공식을 유도하고자 한다. 본 서에서 유도할 공식은 다음과 같다.

\(a\)와 \(b\)가 양수일 때, 가로의 길이가 \(a\)이고 세로의 길이가 \(b\)인 직사각형의 넓이는 \(a b\)이다.

단, 여기서 ‘직사각형의 넓이’란 ‘직사각형과 그 내부를 포함한 영역의 넓이’를 의미한다.

위 공식을 유도하기 위하여 먼저 다음과 같은 기본적인 약속과 규칙을 받아들인다.

  1. 단위넓이. 가로의 길이와 세로의 길이가 모두 \(1\)인 직사각형의 넓이는 \(1\)이다.
  2. 완비성. 임의의 양의 실수 \(a,\) \(b\)에 대하여 가로의 길이가 \(a\)이고 세로의 길이가 \(b\)인 직사각형의 넓이가 존재한다.
  3. 비례성. \(n\)이 자연수일 때, (ⅰ) 직사각형의 가로의 길이를 \(n\)배로 늘이면 넓이는 \(n\)배가 되고, (ⅱ) 직사각형의 세로의 길이를 \(n\)배로 늘이면 넓이는 \(n\)배가 된다.
  4. 순서보존성. (ⅰ) 세로의 길이가 같은 두 직사각형에 대하여, 가로의 길이가 더 긴 직사각형이 더 넓다. (ⅱ) 가로의 길이가 같은 두 직사각형에 대하여, 세로의 길이가 더 긴 직사각형이 더 넓다.

편의를 위하여 \(a\)와 \(b\)가 양의 실수일 때, 가로의 길이가 \(a\)이고 세로의 길이가 \(b\)인 직사각형의 넓이를 \(S[a,~b]\)로 나타낸다.

이 표기법을 이용하면 위 약속은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  1. 단위넓이. \(S[1,~1] = 1.\)
  2. 완비성. \(\forall a,~b \in \mathbb{R} ^+ \exists s\in \mathbb{R} ^+ ~:~ S[a,~b] = s.\)
  3. 비례성. \( \forall a,~b \in \mathbb{R} ^+ \forall n\in \mathbb{N} ~:~ S[n a,~b] = S[a,~n b] = nS[a,~b].\)
  4. 순서보존성. \( \forall a,~b,~c \in \mathbb{R} ^+ ~:~ ( a < b ~ \to ~ S[a, ~c] < S[b, ~c]),\)
    \( \forall a,~b,~c \in \mathbb{R} ^+ ~:~ (b < c ~ \to ~ S[a, ~b] < S[a, ~c]).\)

다음과 같은 다섯 단계를 통하여 우리가 원하는 공식을 유도한다.

단계 1.임의의 자연수 \(m,\) \(n\)에 대하여 \(S[m,~n] = mn\)이다.

증명. \(S[m,~n] = m S[1,~n] = m(n S[1,~1]) = mn \times 1 = mn. \)

단계 2.임의의 자연수 \(m,\) \(n\)에 대하여 \(S \left[ \frac{1}{m} ,~ \frac{1}{n} \right] = \frac{1}{m n} \)이다.

증명.단계 1에 의하여 \[1 = S[1,~1] = S \left[ \frac{m}{m} ,~ \frac{n}{n} \right] = m S \left[ \frac{1}{m} , ~ \frac{n}{n} \right] = m n S \left[ \frac{1}{m} , ~\frac{1}{n}\right] \]이다. 위 등식의 양변을 \(m n\)으로 나누면 결과를 얻는다.

단계 3. 임의의 양의 유리수 \(r,\) \(s\)에 대하여 \( S[r, ~s] = rs\)이다.

증명. \(m,\) \(n,\) \(p,\) \(q\)가 자연수이고 \(r = \frac{p}{m} ,\) \(s = \frac{q}{n}\)라고 하자. 단계 2에 의하여 \[ \begin{eqnarray} S[r,~s] &=& S \left[ \frac{p}{m} ,~ \frac{q}{n} \right] = p S \left[ \frac{1}{m} ,~ \frac{q}{n} \right] \\ &=& p q S \left[ \frac{1}{m} ,~ \frac{1}{n} \right] = p q \cdot \frac{1} {m n} = \frac{p q}{m n} = rs \end{eqnarray} \]를 얻는다.

단계 4. 임의의 양의 실수 \(r\)와 양의 유리수 \(s\)에 대하여 \(S[r,~s] = rs\)이다.

증명. \(r\)가 양의 실수이므로 \(r\)에 수렴하고 증가하는 양의 유리수열 \(\left\{ a_n \right\}\)과 \(r\)에 수렴하고 감소하는 유리수열 \(\left\{ b_n \right\}\)이 존재한다. 이때 임의의 \(n\)에 대하여 \[ a_n < r < b_n \]이다. \(a_n ,\) \(b_n ,\) \(s\)가 모두 유리수이므로 단계 3에 의하여 \[ a_n s = S [ a_n ,~s] < S [r,~s] < S[ b_n ,~ s] = b_n s \]이다. 여기에 \(n \to \infty\)인 극한을 취하면 \[ rs \le S[r,~s] \le rs \]이므로 \(S[r,~s] = rs\)이다.

단계 5. 임의의 양의 실수 \(r , \) \(s\)에 대하여 \(S[r,~s] = rs\)이다.

증명. \(s\)가 양의 실수이므로 \(s\)에 수렴하고 증가하는 양의 유리수열 \(\left\{ a_n \right\}\)과 \(s\)에 수렴하고 감소하는 유리수열 \(\left\{ b_n \right\}\)이 존재한다. 이때 임의의 \(n\)에 대하여 \[ a_n < s < b_n \]이다. \(a_n ,\) \(b_n \)이 모두 유리수이므로 단계 4에 의하여 \[ r a_n = S [ s,~ a_n ] < S [r,~s] < S[ r ,~ b_n ] = r b_n \]이다. 여기에 \(n \to \infty\)인 극한을 취하면 \[ rs \le S[r,~s] \le rs \]이므로 \(S[r,~s] = rs\)이다.

이로써 직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이를 곱한 것과 같음을 증명하였다. 같은 방법으로 \(a,\) \(b,\) \(c\)가 양의 실수일 때 세 모서리의 길이가 각각 \(a,\) \(b,\) \(c\)인 직육면체의 부피가 \(abc\)임을 증명할 수 있다. 이 글의 내용을 바탕으로 직접 해보기 바란다.

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