Monthly Archives: June 2017

MONDO GROSSO – ラビリンス

고개 돌리지 말아줘 슬퍼지는 쪽으로 눈을 감고 입을 맞춰줘 달콤하게 녹아내리는 멜로디 끌려 들어가 미궁 같은 파라다이스 출구도 모른 채 끝도 모른 채 안겨 있고 싶어 방해하지 마 한밤중의 파라다이스 숨도 쉬지 않고 빨려 들어가는 둘만의 댄스 찾지 말아줘 아름다운 미궁에서 입을 맞추면 돌아갈 수 없는 둘만의 댄스 깊이 헤매며 대낮 같은 백야처럼 감각을 잃은 채 어느 쪽도… Read More »

워드프레스에서 수식을 삽입하기 위한 코드

워드프레스에 수식을 삽입하는 방법은 여러 가지가 있으나 가장 권장하는 방법은 MathJax를 이용하는 것이다. MathJax는 HTML 문서에서 TeX 문법에 따라 수식을 손쉽게 입력할 수 있도록 해주는 스크립트이다. 자바스크립트이므로 서버에 CGI를 설치하는 부담 없이 블로그에 적용할 수 있다. (MathJax 공식 홈페이지) 수학이나 물리학을 주제로 블로그를 운영하는 사람들에게 도움이 되기를 바라며 이 블로그에서 사용하는 MathJax 삽입 코드와 스타일시트 코드를 공개한다. 테마… Read More »

함수해석학 강의노트

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 이 노트는 기초해석학, 다변수해석학, 복소해석학, 측도론, 선형대수학, 추상대수학, 위상수학의 내용에 이어지는 것으로서 함수해석학의 기본적인 내용을 간략히 다룬다. 내적공간과 노름공간 부분공간과 상공간 Hilbert 공간의 기본 성질 선형작용소와 선형범함수 쌍대공간 함수해석학의 기본 정리 약위상 범약위상 긴밀작용소 자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼 일반적인 긴밀작용소의 스펙트럼 Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해 Hilbert 공간에서의 스펙트럼… Read More »

Hilbert 공간에서의 스펙트럼

이 글에서는 Hilbert 공간에서의 자기수반 작용소의 스펙트럼에 대하여 살펴보자. 먼저 자기수반 작용소가 실스펙트럼을 가짐을 보이자. 보조정리 1. \(H\)가 Hilbert 공간이고 \(T \in B(H)\)가 자기수반 작용소이면 \(\sigma (T) \subseteq \mathbb{R}\)이다. 증명. \(\lvert \langle ( \lambda 1-T) x,\,x \rangle \rvert \ge \lvert \mathrm{Im} \langle ( \lambda 1-T )x ,\,x \rangle \rvert = \lvert \mathrm{Im} \lambda \rvert \lVert x \rVert ^2… Read More »

Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해

\(X\)가 항등원 \(1\)을 가진 Banach 대수라고 하자. \(X\)에서의 노름이 정규화되었다고 하자. 즉 \(\lVert 1 \rVert = 1\)이라고 하자. 이제 \(X\)에서의 스펙트럼과 분해를 살펴볼 것이다. 이 글을 읽는 동안 다음 두 공간을 염두에 두면 이해하기 쉬울 것이다. 공간 \(B(X)\). 여기서 \(X\)는 Banach 공간이다. 상한노름이 주어진 \(C(G)\). 여기서 \(G\)는 긴밀위상공간이고 곱은 함수의 점별곱으로 정의되며 \(1\)은 상수함수를 나타낸다. 이 공간들에 대하여… Read More »

일반적인 긴밀작용소의 스펙트럼

이 글에서는 복소 Banach 공간 \(X\) 위에서의 긴밀작용소의 스펙트럼의 구조에 대하여 살펴본다. 복소 Banach 공간 위에서의 임의의 작용소 \(T\)에 대하여 \(T\)의 분해집합(resolvent set) \(\rho (T)\)는 \(T - \lambda 1\)이 가역인 \(\lambda \in \mathbb{C}\)들로 이루어져 있으며 스펙트럼 \(\sigma (T)\)는 그 여공간이다. 만약 \(\lambda \in \sigma (T)\)이면 \(T - \lambda 1\)이 가역이 아닌 경우가 몇 가지 존재한다. \(N(T-\lambda 1) \neq… Read More »

자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼

이 글에서 \(X\)는 완비인 Hilbert 공간을 나타내는 것으로 약속한다. \(T : X \to X\)가 유계선형범함수이면 \(X\)와 \(X^*\) 사이의 Riesz 동형성을 통해 \(T^*\)를 \(X\)로부터 \(X\)로의 사상으로 여길 수 있다. 즉 \(T^*\)가 \[\langle T^* x ,\,y \rangle = \langle x ,\, Ty \rangle\] 로 정의된 것으로 생각할 수 있다. 유한 차원 복소 Hilbert 공간의 경우 \(T\)는 복소사각행렬로 표현될 수 있으며… Read More »