Monthly Archives: March 2017

부분공간과 상공간

함수해석학에서 주로 다루는 공간은 벡터공간이므로 부분공간과 상공간 또한 함수해석학에서 빼놓을 수 없는 중요한 주제이다. \(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간일 때 상공간 \(X/S\)는 잉여류들의 모임이다. \(X\)가 노름공간이면 \(X/S\)에서의 반노름을 \[\lVert u \rVert _ {X/S} := \inf_{x \in u} \lVert x \rVert_X \] 또는 동등조건으로서 \[\lVert \overline{x} \rVert _{X/S} := \inf _{s\in S} \lVert x-s \rVert _X \] 로 정의한다.… Read More »

내적공간과 노름공간

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 따라서 내적공간과 노름공간의 개념은 함수해석학을 공부하는 데에 필수적인 기초 내용이다. 정의 1. \(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(p : X \to [ 0,\, \infty ) \)가 두 조건 (1) \((\forall x \in X)(\forall y \in X)\)\((p(x+y) \le p(x) + p(y))\) (2) \((\forall x \in X)(\forall… Read More »

일변수 함수의 적분을 중적분으로 바꾸어 푸는 예

보조정리. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 연속함수이고 \(x\)가 실수일 때 다음 등식이 성립한다. \[\int_0^x f(u) (x-u) \, du = \int_0 ^x \int_0 ^u f(t) \, dt \, du .\] 증명. \(f\)의 한 부정적분을 \(F\)라고 하자. 그러면 부분적분법에 의하여 다음 등식이 성립한다. \[\int_0^x F(u) \, du = F(u)u \bigg{|} _0 ^x - \int_0^x f(u)u \, du = F(x)x -… Read More »